Regla de los signos
Para explicar la regla de los signos, que es necesaria para la multiplicación y la división de enteros, se transcribirá parte del libro “ matemática estas ahí?”.
Supongamos que está manejando su auto a 40 kilómetros por hora. Si le preguntara dónde va a estar dentro de 3 horas, usted contestará: “Voy a estar a 120 kilómetros de acá”. Éste sería un ejemplo de que “más por más, es más”. O sea, aunque uno no escriba los símbolos (+) adelante, es como si estuviera diciendo: (+40) · (+3) = (+120)
Uno representa los 40 kilómetros por hora, con (+40) y lo que “va a pasar” dentro de 3 horas, con (+3). Multiplica y tiene (+120), o sea, uno estará 120 kilómetros más adelante de donde está ahora.
En una figura se ve así:
Si ahora, en lugar de ir a 40 kilómetros por hora hacia adelante, empezara a manejar su auto marcha atrás a la misma velocidad (o sea, a 40 kilómetros por hora pero hacia atrás), podría preguntarle: ¿dónde va a estar dentro de 3 horas?
(–40) · (+3) = (–120)
Otra vez, si uno quiere representar en símbolos que está yendo marcha atrás, lo que hace es escribir (–40)
Por otro lado, como uno quiere saber, otra vez, “qué va a pasar dentro de 3 horas”, usa el número (+3) para representarlo.
En una figura se ve así:
Es decir, si uno maneja el auto hacia atrás a 40 kilómetros por hora, dentro de 3 horas va a estar 120 kilómetros atrás del lugar del que partió. Esto corresponde –espero que se entienda con el ejemplo – a que menos por más es menos.
Ahora bien, lleguemos entonces a la última pregunta (que le pido que lea con cuidado y, sobre todo, que piense sola/o la respuesta). “Si usted viene como recién, manejando su auto a 40 kilómetros marcha atrás y yo, en lugar de preguntarle dónde va a estar dentro de 3 horas, le preguntara, ¿dónde estaba hace 3 horas? Usted, ¿qué contestaría? (Por favor, más allá de responder, trate de convencerse de que me entendió la pregunta). Ahora sigo yo: la respuesta es que uno estaba ¡más adelante! Más aún: estaba 120 kilómetros más adelante de donde está ahora.
Si sigo usando los símbolos de más arriba, tengo que escribir: (–40) · (–3) = 120
Es decir, escribo (–40) porque estoy yendo marcha atrás, y escribo (–3) porque pregunto qué pasó hace 3 horas. Y como se advierte, uno, hace 3 horas estaba 120 kilómetros más adelante del punto donde está ahora. Y eso explica –en este caso – por qué menos por menos es más.
En el dibujo es:
| Propiedad | Generalización | ejemplo | En palabras |
| Conmutativa | a . b = b . a | 3 . 2= 2 . 3 | El orden de los factores no altera el producto |
| Asociativa | a.(b. c)=(a. b).c | 3. (2 .4)=(3. 2).4 | No importa como los agrupes, el producto es el mismo |
| Neutro | a . 1 = a | 1 . 5 = 5 | Cualquier número multiplicado por 1 es igual a si mismo |
| Elem. absorbente | a . 0 = 0 | 3 . 0 = 0 | Cualquier número multiplicado por 0 es iguala 0. |
Se verifica que la multiplicación de enteros siempre es otro entero. A esta propiedad se la llama Ley de cierre para la multiplicación de enteros.
Para practicar:
1. Como expresarías las siguientes oraciones en números, resuélvelas y grafícalas:
a. Manejo un auto a 50 Km. por hora, marcha atrás durante 4 horas.
b. El lugar donde estaba si manejé a 60km por hora durante 3 horas.
c. El lugar donde estaba si manejé a 60km/ hora en marcha atrás durante 3 hs.
- Completa la siguiente tabla:
| a | b | c | -a+b.(-c) | (a+b).(-c) | a.(-c)+b |
| 2 | -3 | 4 | | | |
| -1 | | -2 | | -6 | |
| -9 | 3 | | 3 | | |
| -4 | | -1 | | | -3 |
| | -2 | -2 | | 12 | -10 |
Recuerda que:
 |
Y la regla de los signos se aplica también a la división de enteros.Para aplicar:
- Verificar que no se cumple la propiedad conmutativa con dos contraejemplos.
- Verificar si se cumple la propiedad asociativa para la división con los siguientes números: -200,10 y -5.
- ¿Siempre se puede dividir dos números enteros? Entonces:
se cumple la ley de cierre para la división de enteros. - Enuncie la propiedad de neutro para la división de enteros. Si los naturales son enteros positivos ¿el neutro será el mismo?
- Sabiendo que para los naturales la propiedad distributiva de la división con respecto a la adición se cumple a derecha, demuestra para los enteros con ejemplos.
- Con otros ejemplos observa si la propiedad distributiva de la división con respecto a la sustracción se cumple a derecha y a izquierda.
En la división se cumple la propiedad
a la derecha pero no a izquierda; tampoco cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
a la derecha pero no a izquierda; tampoco cumple las propiedades asociativa y conmutativa. - Resolver:
- -3+(-8).(-1)=
- -4.(-4)+8:(-2)=
- (-150-45):15 - 5.(-3+10)=
- (-5). 2 +3.(-5) - (-8).(-1)=
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