División. Números naturales

Juan  y Pedro deben trasladar la mesa de Juan  a la cancha, y pueden sostenerla solo tramos de 2 cuadras.¿Cuántos tramos serán necesarios hacer?

La distancia entre la casa de Juan y la cancha son   cuadras.

Cada tramo tiene dos cuadras y caminan tramos iguales

Se escribe  así:

                                                 8 : 4 = 2      cociente

                                                           

                                        dividendo     divisor

¿Siempre se puede hacer la división de dos naturales?

5 es número natural, 2 es número natural; ¿el cociente  es un número natural?

A veces la división de dos naturales no es un número natural, se dice que no es exacta; no se cumple la ley de cierre para la división de naturales.

Se trabaja, por el momento, con divisiones exactas.

Si se hace el tramo total, sin parar, en una sola vez, se grafica así:

            

Y con números: 5:1=5

En la división se cumple la propiedad del neutro (sólo como divisor) que es el uno. Cualquier número, dividido 1  es el mismo número.

Ej.:  a : 1= a                        5 : 1 = 5

Para verificar:

Muchas veces con un ejemplo se puede demostrar que una propiedad NO se cumple, se los llama contraejemplos. Si se encuentra 1 ya no se cumple la propiedad.

1.    Sabiendo que no se cumple la propiedad conmutativa para la división, escribí un contraejemplo.

2.    Ahora un contraejemplo para la propiedad asociativa

3.    Con más de un ejemplo observa si la propiedad distributiva de la división con respecto a la adición se cumple a derecha y a izquierda.

4.   

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Con otros ejemplos observa si la propiedad distributiva de la división con respecto a la sustracción se cumple a derecha y a izquierda.                              

En resumen en la división se cumple la propiedad  a la derecha pero no a izquierda; tampoco cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

Caminar  8 cuadras en cuatro tramos, equivale a caminar dos cuadras por tramo.(8 : 4=2). ¿A qué equivale caminar las 8 cuadras en 0 tramo? ¿Existe 0 tramo?

Si se Juan se quedó charlando en la puerta de su casa con un amigo, camino 0 cuadras,¿puede hacerlo en varios tramos?

Entonces, si no camina, no importa si lo considera en varios tramos.

0:1=0                         0:2=0                         0:3=0                         0:a=0

No se puede dividir por 0 (como divisor) pero si se puede dividir a 0 por otro número distinto de cero.

Para practicar

1. Tengo tres hermanos y seis sobrinos, cada uno tiene la misma cantidad de hijos. ¿Cuántos hijos tiene cada uno?
2. Grafica con vectores la siguiente división: 12 : 3 y halla su cociente.
3. Completa: 45 :….= 5

      ….. : 7 = 13

4. 85 libros del mismo grosor ocupan 5 estantes, ¿cuántos libros hay en cada estante?
5. Completa el siguiente cuadro, teniendo en cuenta las verificaciones hechas.

a	b	c	(a-b): c	a-b:c	(a+b):c	a-c+a:c	(b+a):0	0:(b-c)
8	4		2
8		2		7
11	7				18
		5		70	20
18	6			17		15

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Ejercicios:

a)    45:9+(15:5).8+128:4-40:2+1-20=

b)    74-5.2.(7-3)+(160-40):20+23-22:2=

c)   

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{150:[12.3 -6+20]}+[240:(14-108:18)]=

                                                                                                                     

Propiedad cancelativa

Juan  desde el almacén camino hasta la cancha para buscar su buzo que se olvidó ahí  y volvió.

¿A cuántas cuadras de su casa esta Juan en el almacén? ¿Cuántas cuadras caminó desde el almacén hasta la cancha? ¿Cuántas cuadras desde la cancha hasta el almacén?

 A 3 cuadras está el almacén de la casa de Juan; desde el almacén Juan caminó 5 cuadras hasta la cancha, y después volvió 5 cuadras hasta el almacén.

Como sumas y restas se escribe así:      3 + 5 -5= 3

¿Qué sucede si se suma y resta el mismo número al número  3?

3+5-5=                       se suma y se resta el mismo número  a 3.

3+ (5-5)=                   se aplica la propiedad asociativa

3+0=3                        el resultado del paréntesis es cero y como 0 es neutro para la adición, la suma es 3

Otro ejemplo:            12+7-7= 12+ (7-7)= 12+0=12

¿Cuál el neutro para la multiplicación y la división?

¿Qué sucede si  se multiplica y divide por un mismo número a otro?

    3.108:108 = 3. (108:108) = 3.1 = 3

 Otro ejemplo:   54. 27:27 = 54. (27:27) = 54.1 = 54

Propiedad cancelativa
Para la adición y sustracción	Para la multiplicación y división
7+11-11=7 7+(11-11)=7 7+0=7	10.108:108= 10 10.(108:108)=10 10.1=10
22+15-15=22 22+(15-15)=22 22+0=22	10.20:20=10 10.(20:20)=10 10.1=10

Para practicar:

Sopa de letras

a)    Nombre de la propiedad del producto que dice:” El orden de los factores no altera el producto”

b)    Nombre que se la da al resultado de una multiplicación.

c)    Propiedad de la suma y la multiplicación que consiste en agrupar términos convenientemente.

d)    Resultado de una sustracción.

e)    Propiedad que me permite suprimir términos opuestos.

f)     Cada uno de los …… de una suma algebraica separados por signos de más y menos.

g)    Dos o más sumando nos da una………..

h)   Resultado de un cálculo o problema.

i)     Igualdad donde debemos averiguar una incógnita.

j)      Operación que se produce entre un dividendo y un divisor, cuyo resultado es el cociente.

k)    Propiedad de la multiplicación con respecto a la suma y la resta a derecha y a izquierda.

l)     Exponente de cualquier número cuya potencia es el mismo número.

m)  Nombre que se da al número al que se eleva un exponente en la potenciación.

n)   Elemento que multiplicado por cualquier número da por resultado cero.

o)    Según el orden de resolución, primero resolvemos los …………….

P	C	A	N	C	E	L	A	T	I	V	A
A	S	O	C	I	A	T	I	V	A	D	V
R	U	N	O	S	O	O	A	F	N	H	I
E	M	O	N	D	T	Ñ	R	I	O	L	T
N	A	I	M	J	C	A	T	E	I	V	V
T	E	C	U	B	U	F	Q	P	C	X	B
E	C	A	T	A	D	M	K	L	U	P	I
S	Z	U	A	S	O	B	E	Y	L	G	R
I	J	C	T	E	R	M	I	N	O	S	T
S	W	E	I	L	P	A	E	Y	S	U	S
P	O	E	V	X	E	R	E	S	T	A	I
L	F	I	A	N	O	I	S	I	V	I	D

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